Exercices : Etude d’un oscillateur mécanique (Pendule élastique)

Exercice 1 – Mécanique – Etude d’un oscillateur mécanique (Pendule élastique )

On relie un corps solide (S), de masse m = 182 g, à un ressort à spires non jointive, de
masse négligeable et de raideur K, et on fixe l’autre bout du ressort à un support fixe (figure 1).
Le corps (S) peut glisser sans frottement sur un plan horizontal.
On écarte le corps (S) de sa position d’équilibre de la distance Xm, et on le libère sans vitesse initiale.
Pour étudier le mouvement de 𝐺2, on choisit le référentiel galiléen (𝑂, 𝑖⃗) tel que la position de G à l’origine des dates est confondue avec l’origine O.
On repère la position de G à l’instant t par
l’abscisse x dans le repère (𝑂,𝑖⃗) .

1. Montrer que l’équation différentielle du
mouvement de G s’écrit : X"+ k/m. X=0
2. Sachant que la solution de cette équation s' écrit sous la forme :𝑥(𝑡) = 𝑋𝑚.cos (2𝜋/𝑇0 . 𝑡 + 𝜑)
Trouver l'expression de la période propre : 𝑇0
3. Une étude expérimentale a permis de tracer la courbe représentée sur la figure 2.
a) Déterminer graphiquement les grandeurs suivantes :
L’amplitude 𝑋𝑚, la période propre 𝑇0et la phase 𝜑 à l’origine des dates.
b) En déduire la valeur de la raideur K du ressort. (𝜋²≈ 10)
➢ On choisit comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur, le
plan horizontal auquel appartient 𝐺 à l’équilibre, et comme état de référence de
l’énergie potentielle d’élasticité, lorsque le ressort est non déformé.
c) Montrer que l’expression de l’énergie cinétique 𝐸𝑐 du solide (𝑆2) s’écrit sous la
forme : 𝑬𝒄 =𝒌/𝟐(𝑿𝒎² − 𝒙²)
d) Trouver l’expression de l’énergie mécanique 𝐸𝑚 du système {solide (𝑆2) –
ressort} en fonction de 𝑋𝑚 et K, et déduire la valeur de la vitesse 𝑉𝐺 au passage  de 𝐺 à la position d’équilibre dans le sens positif.

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